matrix norm에 대하여

 

 

norm은 어떤 원소의 크기를 나타내는 함수라고 이야기했었다.
https://endures.tistory.com/6

그런데 이 때 원소가 벡터가 아니라 행렬일 수도 있다.
이 행렬에 대한 norm도 자주 쓰인다.
사실 행렬이란게 열벡터를 여러개 이어놓은 것이기에, 당연히 그럴 수 있어보인다.

matrix norm 중에서 $l_{p, q}$-norm이 자주 쓰이며 식의 형태는 다음과 같다.
$l_{p, q} = f(A) = ( \sum_i ( ( \sum_j A_{i, j}^p )^{1/p} )^q )^{1/q}$
이 식을 천천히 뜯어보면 $A$ 행렬의 행벡터들의 $l_p$-norm을 구해서 하나의 열벡터를 만들고,
이 열벡터의 $l_q$-norm을 구하는 것으로 볼 수 있다.

 

 

$||A||_{p,q}$, 행렬 $A$의 $l_{p,q}$-norm 구하는 과정

 

예를 들어 $l_{2, 1}$-norm이라면, 먼저 각 열벡터들의 값들을 제곱한 애들의 합에 루트를 씌워 벡터 하나를 만들고, 이 벡터에 대한 $l_1$-norm, 즉 각 성분의 절대값들의 합으로 계산한다.

이렇게 행렬의 norm을 $p$와 $q$를 구분하기도 하지만, $l_p$ 형태로 matrix norm을 사용하기도 한다.
만약 행렬의 $l_2$라고 한다면, $l_{2, 2}$로 여기면 된다.
matrix의 $l_2$-norm을 특별히 Frobenius norm이라고 해서 $||A||_F$라고 쓰기도 한다.
Frobenius norm은 행렬의 모든 성분을 제곱해서 다 더한 후 루트 씌워준 것이다.
$l_1$-norm 역시 $l_{1, 1}$로 보면 되고, 모든 성분의 절대값들의 합으로 norm을 계산할 수 있다.